“En tanto que las proposiciones de las matemáticas se refieren a la realidad, no son ciertas; y en tanto que son ciertas, no se refieren a la realidad” (Einstein)
La Dualidad Ciencias Formales – Ciencias Empíricas
El término “ciencia” proviene del latín scienctia, “conocimiento”. Hay dos tipos de ciencias (o de conocimientos): formales y empíricas. Las ciencias formales son exclusivamente de tipo interno, mental y racional. Las ciencias empíricas (o fácticas) se basan en lo externo, pero también aplican métodos racionales. Las ciencias empíricas (según la clasificación de Carnap) se dividen en ciencias naturales y ciencias sociales. Ciencias formales y empíricas son duales, con propiedades duales.
No existe un consenso general sobre una definición precisa de las ciencias formales, pero se considera que tienen las propiedades siguientes:
Están basadas en conocimientos racionales, sistemáticos y coherentes. Estudian las verdades de la razón, necesarias y universales, es decir, válidas en todos los mundos posibles.
Trabajan exclusivamente con ideas racionales creadas por la mente. Estudian el mundo interno, su estructura, sus posibilidades expresivas y creativas, en un proceso descendente: de los principios generales (o grados de libertad) de la mente a las ideas racionales concretas.
No se ocupan de la realidad físico-natural, sino solo del mundo abstracto en sus aspectos formales, de las formas o estructuras puras, ideales, abstractas, independientemente de sus contenidos. Las formas abstractas y sus relaciones se codifican mediante un lenguaje simbólico. Las formas abstractas son atemporales e inespaciales.
Se fundamentan en la matemática, pues la lógica formal se considera que forma parte de la matemática. La propia matemática se considera una ciencia formal, la ciencia formal pura y madre de todas las ciencias formales.
Son ciencias deductivas. Utilizan un método deductivo, descendente. Normalmente toman la forma de sistemas axiomáticos formales, que constan de axiomas generales (independientes entre sí), definiciones y reglas de inferencia para producir teoremas, nuevas verdades o conclusiones de tipo particular.
En los sistemas axiomáticos formales, la verdad se basa en la coherencia. Una sentencia es verdadera si es deducible a partir de los axiomas y las reglas de inferencia. Si no es deducible, la sentencia es falsa.
Las entidades formales admiten muchas interpretaciones. En los sistemas axiomáticos formales, las interpretaciones se denominan “modelos”.
Son ciencias analíticas. Sus proposiciones son analíticas. No agregan conocimiento nuevo. El predicado está incluido en el sujeto o están basadas en el principio de identidad (según la definición de Kant).
Son ciencias a priori, previas a la experiencia. No tienen ni requieren conocimiento empírico. Su validez es independiente de todo conocimiento empírico. Por lo tanto, no son falsables.
Son herramientas auxiliares de las ciencias empíricas, proporcionándolas un fundamento formal. Las teorías de las ciencias empíricas o los modelos de la realidad se elaboran mediante sistemas formales.
Funcionan como cualquier disciplina científica, pero en dominios específicos y con temáticas y métodos propios.
Son precisas, al contrario que las ciencias del mundo empírico.
“Una de las razones por las que las matemáticas disfrutan de especial estima, por encima de las otras ciencias, es que sus leyes son absolutamente ciertas e indiscutibles, mientras que las otras ciencias son hasta cierto punto discutibles y en constante peligro de ser derrocadas por nuevos hechos descubiertos” (Einstein).
En contraposición, las ciencias empíricas:
Estudian el mundo externo objetivo.
Elaboran teorías o modelos de la realidad con la ayuda de las ciencias formales.
Son a posteriori. Requieren contacto con el mundo sensible.
Utilizan el método inductivo, ascendente, sintético y progresivo: de los hechos particulares a las leyes, patrones o reglas generales.
Son ciencias sintéticas. Sus enunciados son sintéticos. Añaden nuevo conocimiento.
Son predictivas. Predicen el comportamiento de un sistema en función de las circunstancias existentes en cada momento.
Son falsables. Un nuevo hecho que no se ajuste a una teoría de la realidad puede invalidarla.
Son progresivas. Intentan aproximarse a la verdad mediante teorías sucesivas.
“El objetivo de la ciencia no es establecer verdades inmutables y dogmas eternos; su objetivo es acercarse a la verdad por medio de sucesivas aproximaciones, sin proclamar que en alguna de las etapas intermedias la verdad ha sido alcanzada por completo” (Bertrand Russell).
Las diversas ciencias formales
Las ciencias formales son más importantes que las ciencias empíricas porque las ciencias formales estudian los sistemas y los mundos posibles, uno de los cuales es el mundo físico.
El siglo XX ha sido testigo de una verdadera explosión de nuevas ciencias formales, todas ellas fundamentadas en la matemática. Entre las nuevas ciencias formales se encuentran: teoría de la computación, teoría de la información, teoría de sistemas, teoría de la decisión, investigación operativa, lingüística teórica, teoría de juegos, análisis numérico, ingeniería de sistemas, teoría de control, teoría de redes, autómatas celulares, vida artificial, etc.
Además de estas ciencias, que tienen un ámbito concreto, también han surgido ciencias con denominaciones genéricas bajo los nombres de “ciencias de la complejidad” y “ciencias de lo artificial”.
Las ciencias de la complejidad tratan del estudio de los sistemas con muchos componentes, con un alto grado de dependencia entre ellos, donde no hay un control centralizado, donde los componentes obedecen a reglas operativas simples, pero que exhiben un comportamiento colectivo complejo no predecible (o difícil de prever) analizando los componentes individuales.
Las ciencias de artificial es una de las principales aportaciones de Herbert A. Simon [2006] a la filosofía y metodología de la ciencia. Estas ciencias comparten la característica de que están orientadas a objetivos, los cuales pueden lograrse mediante diversos métodos o diseños que requieren racionalidad. Por ejemplo, la economía, la farmacología, la documentación, etc.
Las diversas ciencias formales, aunque se fundamentan en la matemática, están desconectadas. No existe una disciplina (o ciencia genérica) que las integre porque se desconoce cual es la característica común a todas ellas. Se ha sugerido que:
Se trata de matemática aplicada. Pero esta denominación es demasiado genérica.
Es ingeniería matemática. Tampoco capta la esencia común de estas ciencias.
Es la teoría general de sistemas. Pero el término “sistema” es demasiado genérico, pues casi cualquier cosa es un sistema (un conjunto de componentes interrelacionados).
Son ciencias generales. Esta denominación tampoco aclara su verdadera naturaleza.
La filosofía de las ciencias formales
Los sistemas y las ciencias formales han llamado la atención de los filósofos, desde la antigua Grecia. Las cuestiones que interesan a los filósofos son:
La verdadera naturaleza de los sistemas formales, su fundamentación, su significado profundo y su tipo de verdad.
Su relación con las categorías filosóficas.
Su posible aplicación a la filosofía. ¿Se puede formalizar la filosofía?
La respuesta a esta última pregunta fue la denominada “filosofía analítica”, una filosofía que intenta aplicar la formalización a los problemas de la filosofía para aclararlos o comprenderlos mejor. La filosofía analítica, una de las grandes corrientes filosóficas, surgió como reacción al idealismo. La filosofía analítica no estudia los hechos en competencia con las ciencias empíricas sino que solo le interesan los conceptos esenciales expresados mediante el lenguaje y sus relaciones lógicas, es decir, la estructura lógica de las sentencias.
Este análisis condujo a tres visiones o estrategias: 1) el análisis de los conceptos del lenguaje natural u ordinario; 2) la búsqueda de las estructuras lógicas más o menos explícitas u ocultas en el lenguaje ordinario, independientemente de sus contenidos; 3) la creación de un lenguaje perfecto o ideal.
En este campo destacan principalmente cuatro figuras:
Frege.
La filosofía analítica nació con Frege, que es considerado el padre de la moderna lógica formal o lógica matemática. Frege intentó conectar a nivel formal filosofía y lógica, camino que fue seguido por Russell y Wittgenstein.
Moore.
Se enfocó en el análisis del lenguaje corriente intentando extraer los conceptos fundamentales implicados en las reflexiones filosóficas.
Russell.
La lógica es la estructura subyacente del lenguaje en el que se refleja la estructura del mundo. Hay unos átomos lógicos (o primitivas de carácter lógico) con los que se construye el lenguaje, reflejo de la estructura de la realidad. Es la tesis isomorfista.
Wittgenstein.
La filosofía no es una ciencia porque la ciencia descubre y la filosofía no hace descubrimientos sino que solo intenta aclarar o mejorar la comprensión de cosas ya conocidas y que eran confusas. Lo hace intentando ir más allá de lo superficial, buscando la esencia común a todo, que reside en el lenguaje.
La lógica tampoco es una ciencia porque las proposiciones de la lógica son tautologías.
Respecto a la matemática, el pensamiento de Wittgenstein es difícil de caracterizar y clasificar. No obstante, podemos describir sus ideas principales:
La matemática no necesita ninguna fundamentación porque no necesita ninguna explicación. La matemática, al igual que la filosofía, debe ser meramente descriptiva, utilizando un lenguaje formal. Este lenguaje formal puede iluminar o aclarar los problemas filosóficos. Los problemas filosóficos aparecen cuando no hay un lenguaje formal.
Las expresiones matemáticas como “3 por 3 es 9” no son realmente proposiciones genuinas, pese a tener estructura gramatical. Son reglas que expresan identidad de descripciones. Las reglas son formales y no son arbitrarias, sino necesarias porque están basadas en regularidades verificables empíricamente.
Los objetos matemáticos (números, conjuntos, funciones, etc.) existen, pero pertenecen a un reino abstracto, no espacio-temporal e independientemente de la mente. Podemos conocer esos objetos a través de la intuición.
Las proposiciones matemáticas no se refieren a la realidad física. Por lo tanto, no tiene sentido hablar de su verdad o falsedad, sino solo si tienen sentido o no lo tienen.
La matemática no es transcendente. Está ligada al lenguaje y a las prácticas humanas. El lenguaje solo sirve para describir la matemática y la filosofía, no para fundamentarlas. La matemática está divorciada del lenguaje que utiliza.
Hay que distinguir entre matemática pura y aplicada. Son cosas distintas.
Sobre si la filosofía es o no una ciencia formal, la respuesta es que la filosofía debe fundamentar a todas las ciencias formales, incluyendo a la matemática.
La cuestión análisis-síntesis
Para Kant, un juicio analítico es aquel en el que el predicado está incluido en el sujeto, es decir, no añade nuevo conocimiento, por ejemplo, “Un soltero es un no casado”. En un juicio sintético, el predicado no está incluido en el sujeto, por lo que añade conocimiento, por ejemplo, “Todas las rosas son rojas” o “Algunos solteros son médicos”.
Desde Kant, el debate analítico-sintético ha interesado a los filósofos, que han intentado clarificar y generalizar esta distinción para todo tipo de enunciados. Generalmente se admite:
Un enunciado analítico es aquel que cuyo valor de verdad puede ser determinado en virtud del significado de sus términos componentes y sus relaciones.
Un enunciado sintético es aquel cuyo valor de verdad requiere algún tipo de constatación empírica.
Willard van Orman Quine, en “Two Dogmas of Empirism” [1951], un artículo considerado uno de los más importantes del siglo XX:
Rechaza la distinción tradicional entre los enunciados analíticos y los sintéticos. Todos los enunciados son sintéticos en mayor o menor grado. Las ciencias formales como la matemática y la lógica no son analíticas, sino sintéticas, aunque en menor grado.
No hay distinción cualitativa entre ciencias formales y empíricas. Solo difieren en grados de abstracción.
Hay holismo lingüístico. Es necesario considerar el campo completo de una ciencia y no las sentencias aisladas, pues todos los enunciados científicos están interconectados, desde los enunciados empíricos hasta los principios más generales. El lenguaje es un todo estructural que responde a la experiencia. La relación entre los enunciados de una teoría y la experiencia es holista y no reduccionista.
El empirismo matemático
El empirismo matemático nació con John Stuart Mill (siglo XIX), para quien los conocimientos matemáticos proceden del mundo físico, aunque reconocía que los conocimientos matemáticos son “los más generales” de todos.
Imre Lakatos acuñó el término “cuasi-empirismo matemático” en su artículo “A Renaissance of Empirism in the Recent Philosophy of Mathematics”. Se refería a que el conocimiento matemático no es radicalmente diferente del resto de los conocimientos científicos porque el conocimiento matemático se fundamenta también, aunque parcialmente o no totalmente, en el empirismo:
Las teorías matemáticas y las teorías empíricas tienen en común de que ambas son falsables. La falibilidad es inherente al conocimiento matemático. La matemática ha cometido errores a lo largo de la historia, de la misma forma que las ciencias experimentales.
En matemática hay teorías rivales, como en las ciencias empíricas, empezando por las teorías de la fundamentación de la propia matemática: las teorías formalista, logicista e intuicionista.
En la matemática intervienen axiomas, postulados y demostraciones, pero también interviene el empirismo. La distinción entre lo a priori y lo a posteriori es relativa.
Las demostraciones matemáticas no son necesariamente eternas o necesariamente verdaderas.
El proceder de la matemática no es axiomático, sino que está basado en una sucesión de teorías o de pruebas y errores que conducen a conclusiones falibles. No podemos saber si hemos llegado a la verdad final, pero sí mejoramos progresivamente nuestro conocimiento. Toda teoría matemática es una conjetura.
El intento de proveer de fundamentos firmes a la matemática conlleva un retroceso al infinito porque nunca alcanzaremos la verdad última.
Hay demostraciones matemáticas informales que no necesitan de una teoría perfectamente formalizada para que se consideren demostraciones válidas. También hay demostraciones matemáticas formales que son falsables por medio de demostraciones informales.
Los teoremas matemáticos tienen una dimensión histórica. Son procesos que se desarrollan en el tiempo. Comprender un teorema debe pasar por conocer la historia de su demostración.
La matemática ha evolucionado de diferente manera según su contexto cultural.
Todas las teorías matemáticas comparten un núcleo común firme (no falsable) y una periferia (falsable) constituida por hipótesis auxiliares susceptibles de ser modificadas o sustituidas por otras nuevas.
En 1975, Hilary Putnam –un año después de la muerte de Lakatos– publicó “What is Mathematical Truth?” donde afirmaba:
El conocimiento matemático se parece al empírico en el sentido de que el criterio de verdad para ambos es el éxito de las ideas en la práctica.
En ambos casos, el conocimiento no es absoluto, sino susceptible de mejora.
La matemática no es puramente lógica sino cuasi-empírica. La matemática utiliza demostraciones lógicas y métodos cuasi-empíricos. Por ejemplo, el último teorema de Fermat (no existe un n>2 tal que an + bn = cn con a, b, c y n números naturales) había sido probado para muchos valores de n antes de ser demostrado por Andrew Wiles en 1995.
El lenguaje formal y la ciencia
Toda ciencia, para que sea rigurosa, necesita un lenguaje formal y preciso para representar el conocimiento, un lenguaje como intermediario entre epistemología y ontología, entre el mundo mental interno y el mundo físico externo. Hay autores que afirman que la ciencia en sí misma es un lenguaje.
Los lenguajes para representación del conocimiento científico pueden ser naturales o artificiales. Los lenguajes naturales adolecen de falta de precisión, son centrífugos, superficiales y tienden a la diversificación. Los lenguajes artificiales son centrípetos, profundos y tienden a la unificación, a la universalización. Entre estos últimos están la matemática (incluyendo la lógica) y los lenguajes informáticos (de programación, de representación del conocimiento, etc.). El llamado “lenguaje matemático” (que es de tipo descriptivo) no es tal porque no tiene una semántica lexical y una semántica estructural perfectamente definidas. Los lenguajes informáticos (que son de tipo operativo) han contribuido en gran medida a la formalización de la lingüística.
Es evidente que un lenguaje formal condiciona el desarrollo de la ciencia y, por lo tanto, de la sociedad. El ejemplo más paradigmático fue la invención del sistema de numeración posicional decimal, junto con la introducción del cero. Un lenguaje formal universal, común para todas las ciencias, tendría un enorme impacto en la evolución de la ciencia y de la sociedad.
Para Aristóteles, el lenguaje científico debe ser perfecto para reflejar la verdad de los hechos de forma precisa y clara. Llamó al lenguaje científico “apofántico”.
MENTAL como Fundamento de las Ciencias Formales y Empíricas
MENTAL es la esencia común y el fundamento de todas las ciencias formales, incluyendo a la propia matemática. La lógica es una dimensión o grado de libertad de MENTAL. También ayuda a formalizar a las ciencias empíricas. MENTAL es la fundamentación universal de las ciencias.
Mejor que clasificar a las ciencias en formales y empíricas, es mejor clasificarlas en ciencias internas (o mentales) y ciencias externas (o físicas). Ambas están ligadas o conectadas por un lenguaje formal universal.
MENTAL tiene un fundamento profundo: las categorías filosóficas. Es el fundamento explícito de las ciencias formales y el fundamento implícito de las ciencias empíricas. En MENTAL, filosofía y formalización son dos aspectos de una misma cosa. Con MENTAL la filosofía se vuelve analítica y a la vez sintética.
MENTAL, como lenguaje universal, va más allá de las limitaciones de los sistemas axiomáticos formales (basados en la lógica de primer orden), pues permite establecer formas operativas (funciones, procedimientos, reglas) y descriptivas.
La matemática con la que se elaboran los sistemas formales tienen dificultades expresivas. Es incompleta, está limitada. La limitación proviene de la falta de universalidad de los conceptos matemáticos utilizados. Por ejemplo, es difícil o imposible formalizar la cuantificación generalizada, la cuantificación de orden superior, los operadores modales generalizados, etc.
Hay ciertos dominios que no pueden formalizarse o que es muy difícil formalizarlos debido precisamente a estas limitaciones expresivas del lenguaje matemático. Esto se resuelve con MENTAL, que establece los límites de lo que es expresable y formalizable.
En MENTAL, espacio y tiempo son abstractos y están unidos en las expresiones, son dos aspectos de una misma cosa. Toda expresión es una forma que ocupa un espacio (secuencia o conjunto), y la forma del ese espacio determina la forma en que se evalúa la expresión (en serie o en paralelo, respectivamente).
Las primitivas de MENTAL están siempre presentes en todas las ciencias porque son arquetipos primarios. La formalización de las ciencias empíricas siempre es posible, aunque hasta un cierto grado. Toda ciencia empírica tiene que elaborarse con rigor conceptual, matemático y lógico, y rigor implica formalización.
En las ciencias empíricas, se utilice o no un lenguaje formal para representar el conocimiento, se están utilizando más o menos conscientemente los arquetipos primarios a nivel interno (mental) o lingüístico. MENTAL armoniza ciencia formal y ciencia empírica porque ambos tipos de ciencias son una manifestación de los mismos arquetipos primarios. Por lo tanto, se diluye la frontera entre ciencias formales y ciencias empíricas.
Leibniz distinguía entre verdades de razón y verdades de hecho. Pero las de hecho están sustentadas por las de razón.
MENTAL, como fundamento de las ciencias formales, va más allá de lo estrictamente racional, pues permite expresiones imaginarias.
La complejidad de las “ciencias de la complejidad” no es tal, la complejidad es solo simplicidad aplicada de forma recursiva. “La complejidad correctamente vista, es solo una máscara de la simplicidad” (Herbert Simon). MENTAL ofrece un paradigma universal que une simplicidad y complejidad.
MENTAL es un lenguaje formal universal capaz de representar el conocimiento descriptivo y operativo. Siguiendo el principio de economía, se basa en arquetipos primarios que son comunes al mundo interior y al exterior, Está desprovisto de todo contenido concreto, es pura forma, abstracto, simbólico. Las expresiones del lenguaje son las combinaciones válidas de esos símbolos.
La verdad absoluta reside en los arquetipos primarios, en lo profundo.
Hay que distinguir entre procesos analíticos/sintéticos y expresiones analíticas/sintéticas.
El proceso analítico es descendente: de lo general a lo particular (o menos general). El proceso contrario es síntético.
Una expresión analítica es una expresión que se representa a sí misma. Una expresión sintética es la que representa a varias expresiones, analíticas o menos sintéticas.
Hay una jerarquía de expresiones sintéticas. Por ejemplo, la expresión ⟨x+y⟩ es más sintética que ⟨x+3⟩ porque la incluye: ⟨x+y⟩ ⊃ ⟨x+3⟩.
Las primitivas constituyen la síntesis universal. Los arquetipos primarios no son falsables porque son a priori. Según Kant, los juicios sintéticos a priori están en el corazón de la ciencia.
Toda expresión (analítica o sintética) admite infinitas interpretaciones basadas en la interpretación de los contenidos. En cambio, la interpretación estructural es única.
Paradójicamente, el análisis último, que conduce a las categorías filosóficas, también conduce a la síntesis universal. Es la suprema unión de los opuestos, la conciencia universal. MENTAL es a la vez un lenguaje reduccionista y holístico.
Las primitivas de MENTAL no son falsables. Se puede hacer corresponder con el “núcleo duro” (no falsable) del que hablaba Lakatos.
La matemática, y la ciencia en general, intentan capturar la esencia común de todo, avanzando hacia la unificación, generalizando conceptos y buscando principios abstractos generales o universales. Por ejemplo, las geometrías no euclidianas nacieron para generalizar la geometría euclidiana. Y las lógicas polivalentes nacieron para generalizar la lógica bivalente.
En definitiva, MENTAL es el fundamento de las ciencias formales, y desde esta base se contempla la unidad esencial de todas las ciencias (formales y empíricas).
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