LIMITACIONES DE LA LÓGICA

“Tenemos menos certeza que nunca acerca de los fundamentos últimos de lógica y las matemáticas” (Hermann Weil)

“La lógica no tiene existencia independiente de las matemáticas” (Tobias Dantzig)

“La lógica llena el mundo; los límites del mundo son también sus límites” (Wittgenstein)

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Las Lógicas
La lógica matemática

Históricamente, matemática y lógica han sido disciplinas distintas. Pero modernamente la lógica se ha hecho más matemática y la matemática más lógica. Hoy día es imposible trazar una línea divisoria entre ambas.

La matemática formalizó la lógica para crear la llamada “lógica matemática”. Sus principales impulsores fueron Boole, Peano, Frege y Russell:

• Boole creó el álgebra de la lógica, la lógica binaria, basada en dos valores de verdad (Verdadero, Falso), o sus equivalentes valores binarios (0, 1).
  
  
• Frege creó la lógica de predicados e introdujo los cuantificadores.
  
  
• Peano contribuyó a su formalización ideando nuevos símbolos de la teoría de conjuntos y para los cuantificadores. También defendió que la lógica debía basarse en la implicación. Para Peano, la lógica matemática no solo era la matematización de la lógica sino también la lógica de la matemática.
  
  
• Russell realizó contribuciones a la lógica matemática al intentar formalizar la matemática mediante la lógica en su obra (en colaboración con Whitehead) Principia Mathematica.

Las nuevas lógicas

Hasta finales prácticamente del siglo XIX solo había una lógica, la lógica clásica aristotélica. Se consideraba que esta lógica era la única que podía existir, por lo que este tema se consideraba completo y cerrado. Actualmente hay una profusión de lógicas diferentes (además de la clásica): modal, difusa, lineal, intuicionista, paraconsistente, paracompleta, ecuacional, etc. [ver Adenda]. Estas lógicas se han creado para que pudieran ser aplicadas a dominios específicos (informática, inteligencia artificial, cognición, etc.), pues la lógica clásica no es suficientemente genérica y flexible.

Ante esta situación de confusión se hace necesario ir hacia la fundamentación de la lógica, en abstracto, buscar su esencia y ver si todas estas lógicas pueden ser derivadas de una lógica fundamental, que podemos denominar “genérica”, “abstracta” o “universal”.

Para ello, lo que se necesita no es una formalización simbólica, sino una lógica filosófica, una lógica basada en unos conceptos primitivos. El formalismo debe desecharse, porque es un mero juego de manipulación de símbolos, mediante ciertas reglas, un mecanismo ciego, sin semántica.

Características de esta lógica universal deben ser:

• Que contemple la lógica de la deducción y la lógica de la decisión.
  
  
• Que sea independiente de la sintaxis del lenguaje formal que se utilice.
  
  
• Que permita expresar otros tipos de lógica (lógicas derivadas), de tal forma que en cada dominio se aplique la lógica más adecuada.
  
  
• Que se integre y conecte con los conceptos fundamentos de la matemática.

El desarrollo de lógicas no clásicas arranca el 18 de Mayo de 1910, cuando el lógico y filósofo Nikolái Vasiliev publica el artículo “Sobre juicios parciales, triángulo de oposición, ley del cuarto excluso”, en donde exponía los principios de una “lógica imaginaria”, inspirada en la geometría no euclidiana de Lobatchevsky (también calificada inicialmente por su autor de “imaginaria”). De la misma forma que esta geometría flexibiliza el V postulado de Euclides (el postulado de las paralelas), en la lógica imaginaria se flexibiliza el principio de contradicción y la ley del tercio excluso, para admitir tres clases de juicios: afirmativo, negativo e indiferente. Esta nueva lógica, como la geometría imaginaria, era también consistente (o paraconsistente, es decir, con cierta tolerancia a la contradicción).

Esta nueva lógica se justificaba por varias razones:

• Porque la lógica clásica era insuficiente para abordar problemas complejos.
  
  
• Para crear nuevos paradigmas, nuevas formas de contemplar las cosas e incluso crear nuevos mundos imaginarios. La lógica clásica es un instrumento limitado de conocimiento, válido para una clase limitada de mundos (los mundos clásicos). Los mundos imaginarios obedecen leyes de lógicas imaginarias.
  
  
• Para poder aplicar el método experimental, como en las ciencias naturales.
  
  
• Por el llamado “relativismo lógico”. Gente de diferentes culturas pueden tener diferentes lógicas. Lo que es irracional en una cultura, puede ser racional en otra.

Vasiliev no realizó un desarrollo formal de sus ideas. A.I. Arruda [1977] formalizó algunas de las ideas de Vasiliev.

Hay una gran variedad de lógicas especializadas, sin una raíz común, es decir sin una lógica básica o fundamental de la cual derivar todas las demás lógicas (ver Adenda).


Limitaciones de la lógica formal

Las limitaciones de la lógica formal (o lógica matemática) son las siguientes:

• Los operadores lógicos no son genéricos, pues operan o actúan exclusivamente sobre valores o variables lógicos (Verdadero, Falso), o booleanos (0, 1). No actúan sobre cualquier tipo de argumentos.
  
  
• La notación de predicados es poco expresiva. Por ejemplo, la secuencia de símbolos Px indica que el elemento x tiene predicado P. Además, hay desconexión entre sintaxis y semántica al no existir operador explícito. Y no es genérica, al ser restrictiva respecto a los tipos de elementos y de predicados. Por ejemplo, ¿cómo expresar un predicado de una función, de una regla, de un objeto, etc.?
  
  
• La conectiva “implicación lógica” x→y se define en lógica booleana de forma antinatural y poco conceptual como ¬x∨y, la denominada “implicación material”. Es más adecuado fundamentar la lógica booleana a partir del concepto de “condición” (si x, entonces y).
  
  
• Hay dos tipos de lógica: la lógica de la deducción (o de inferencia) y la lógica de la decisión (elegir una o varias opciones entre un conjunto de posibles opciones). Pero estos dos tipos de lógica deberían ser dos tipos de aplicación de un mismo mecanismo o recurso lógico: la condición.

El concepto de “verdad”

El concepto de “verdad” está ligado a la lógica y debería ser algo esencialmente “lógico”. Sin embargo, se trata de un concepto polémico y ambiguo.

• Está basado en la dualidad verdadero-falso. En este sentido, se trata del concepto más superficial de todos. Pero la verdad es algo trascendente, algo asociado a la conciencia. La verdad, como la conciencia, es algo que no se puede definir porque se supone que está más allá de la mente. Según Frege, la verdad es un concepto imposible de definir.
  
  
• La verdad se suele fundamentar en el llamado “principio de correspondencia” entre lo interno (lo concebido a nivel mental, y cuya semántica podría expresarse mediante una proposición ) y lo externo (la realidad). Pero este principio es difuso y difícil de definir. Frege veía esta correspondencia como una simple “función de verdad”, que asigna a cada enunciado un valor de verdad. Por ejemplo, v(Frege es alemán) = V (verdad), en donde v es la función de verdad.
  
  
• Hay proposiciones que son construcciones y que no tiene ningún sentido asignarles un valor de verdad (V o F), por ejemplo, una expresión algebraica (como x+3y) o la definición de una función (como f(x) = 3x+2). Por lo tanto, el concepto de valor de verdad (o función de verdad) no es universal; es un concepto exclusivo de la lógica. Se suelen llamar “proposiciones lógicas” a un tipo particular de sentencias o expresiones a las que tiene sentido asignarles un valor de verdad.
  
  
• Hay cosas que no sabemos si son o no verdad, sobre todo cuando está implicado el infinito. Por ejemplo, no sabemos si determinados entes matemáticos existen o no, o si tienen determinada propiedad. Brower y Heyting (las dos figuras principales de la escuela intuicionista) afirmaban la imposibilidad de conocer si la secuencia 0123456789 aparece en el desarrollo decimal (infinito) de π (aunque fue posteriormente localizada en 1997 por Yasumada Kanada y Daisuke Takahashi, de la Universidad de Tokyo, después de computar 17 billones de decimales). De toda maneras, se trataba de solo un ejemplo, que puede complicarse eligiendo una secuencia mucho más larga. Por lo tanto, el principio del tercero excluido (algo es verdadero o falso) no se cumple siempre.
  
  
• La verdad debería ser considerada como una magnitud para poder hablar de “cantidad”, grado de verdad o factor de verdad (un número entre 0 y 1). Por ejemplo, 0.7*V y en donde se verifica que 0.7*V ≡ 0.3*F. En general, f*V ≡ (1−f)*F
  
  
• En los sistemas axiomáticos formales, una proposición es verdadera si es demostrable. De esta forma la verdad se convierte en algo relativo al sistema axiomático formal. Solo importa la consistencia, que es la ausencia de contradicción, es decir, que no pueda deducirse una proposición y su contraria.
  
  
• Según el teorema de incompletud de Gödel, en los sistemas axiomáticos formales que incluyan la aritmética de los números naturales, hay proposiciones indecidibles, es decir, que no se puede demostrar (con los axiomas y las reglas de inferencia) si son verdaderas o falsas.

Es mejor sustituir el concepto “verdad” por el de “existencia”, que es mucho más general y más concreto, menos difuso y más manejable:

• “Existencia” entendida, no en el mundo físico, sino en el espacio formal, abstracto o matemático.
  
  
• “Existencia” de una expresión en general, que puede ser una relación, un conjunto, una función, etc.
  
  
• “Existencia” se refiere a algo que un sistema puede verificar internamente por sí mismo, es decir, es autosuficiente, sin necesidad de acudir a elementos externos.

Las paradojas lógicas

Las paradojas lógicas se han considerado tradicionalmente una fuente de problemas para la matemática, hasta el punto que han afectado a su propia fundamentación.

La paradoja más famosa es la que denominamos hoy “paradoja de Russell”: “El conjunto de los conjuntos que no pertenecen a sí mismos, ¿se pertenece a sí mismo?”. Dicho de otra forma: “El conjunto cuyos elementos son todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos, ¿es o no un elemento de sí mismo?”. La respuesta a esta cuestión es verdadera y falsa a la vez. Esta paradoja surgió a raíz de los intentos de Frege por formalizar la teoría de conjuntos de Cantor, y que Russell comunicó a Frege en 1902. En general, la paradoja de Russell afirma que no es posible asumir que toda propiedad determina un conjunto de entes que tienen esa propiedad, pues algunas propiedades conducen a contradicción.

Las paradojas surgen por la confluencia de dos circunstancias: las autorreferencias y el dualismo verdadero-falso. Pero las paradojas desaparecen cuando se considera la verdad o la falsedad como un mero atributo de un ente matemático, y las autorreferencias se convierten, como veremos, en expresiones fractales (expresiones en las que un mismo patrón se repite indefinidamente). El concepto de fractal es de una gran importancia, pues está ligado a la estructura de la mente, la conciencia y la propia realidad.

Las paradojas son en realidad expresiones de conciencia, pues se unen o confluyen dos conceptos opuestos. Y no solo no hay que rechazarlas, sino aceptarlas porque son precisamente las expresiones que tienen mayor poder. Las paradojas no nos alejan de la verdad y de los fundamentos, sino todo lo contrario.


Los sistemas axiomáticos formales

La matemática, desde Euclides, utiliza el método axiomático. Un sistema axiomático formal se compone de:

• Un conjunto finito de símbolos para la construcción de fórmulas.
  
  
• Una gramática formal, un mecanismo para construir fórmulas válidas.
  
  
• Un conjunto de axiomas.
  
  
• Un conjunto de reglas de inferencia.
  
  
• Los teoremas que pueden demostrarse a partir de los axiomas y las reglas de inferencia.

Un sistema axiomático formal debe cumplir tres propiedades:

1. Consistencia. No ha de ser posible demostrar una fórmula y su negación.
   
   
2. Completud. Todas las fórmulas válidas (verdaderas bajo cualquier interpretación) han de ser demostrables.
   
   
3. Decidibilidad. Debe existir un método efectivo para decidir si una fórmula es verdadera o falsa.

Pero el método axiomático presenta problemas:

• Está limitado por el teorema de incompletud de Gödel.
  
  
• A veces es difícil demostrar la consistencia de los axiomas.
  
  
• No hay distinción clara entre axiomas y definiciones.
  
  
• Está solo orientado al razonamiento. Le faltan los componentes operativo y descriptivo.
  
  
• Se utilizan diferentes reglas de inferencia. No hay consenso sobre las reglas a aplicar.

En este último aspecto, se suelen utilizar 3 reglas:

1. Regla de unión:
   Si A y B son teoremas, entonces A∧B (conjunción lógica) también lo es.
   
   
2. Regla de separación (modus ponens):
   Si A y A→B (implicación lógica) son teoremas, entonces B es un teorema.
   
   
3. Regla de sustitución:
   Si A es un teorema en las que aparecen p1, … , pn y B1, … ,Bn son sentencias, entonces sustituyendo en A p1=B1, … , pn=Bn, es un teorema.

En Principia Mathematica se utilizaron estas tres reglas.

En la lógica proposicional se utilizan las reglas de separación y sustitución. La regla de unión no es una regla de inferencia sino una regla constructiva.

El principio de resolución de Robinson solo utiliza una regla: De A∨B y A∨¬B se deduce A.

Pero la única regla “natural” a aplicar es la regla de separación, como ya intuyó Peano y que también defendió Russell en “Los Principios de la Matemática”: “Cuando nuestras mentes se fijan en la inferencia, parece natural tomar ‘implicación’ como la relación primitiva fundamental”.

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Adenda
Las diferentes lógicas

La siguiente lista de lógicas no es necesariamente exhaustiva:

Lógica absoluta, abstracta, adaptativa, afín, algebraica, anulable (defeasible), aristotélica, binaria, categórica, de clases, combinatoria, compacta, computacional, cuántica, cuantificacional, de cláusulas de Horn, de la creencia, de la decisión, de la demostración, de la intención, de la obligación, del conocimiento, deóntica, de las descripciones, de las transiciones, desviada, dialéctica, dinámica, difusa, divergente, doxística (de las creencias), ecuacional, epistémica, epistémica, espacial, estructural, erotética (del arte de hacer preguntas), extensional, fractal, general, de Hoare, de la identidad, IF, inexacta, infinitaria, intensional, intuicionista, lambda, libre, lineal, matricial, mereológica (la del todo y las partes), modal (de la necesidad y la posibilidad), multidimensional, multivariada (many-sorted logic), no monótonica, ordinal, paraclásica, paracompleta, paraconsistente, plural, polivalente (o plurivalente o multivaluada), por defecto, de Port-Royal, de predicados de primer orden, de orden superior, de la preferencia, producto (o tetravalente), proposicional (o de orden cero), de punto fijo, de relaciones, de relevancia, subestructural, temporal, de términos, trivalente, topológica, transconsistente, de la validación.


Bibliografía

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• Garrido Garrido, Julián. Verdad matemática. Nivola, Ciencia Abierta, 2003.
  
  
• Heidegger, Martin. Lógica: La pregunta por la verdad. Alianza Ensayo, 2004.
  
  
• Hintikka, Jaakko. Lógica, juegos de lenguaje e información. Editorial Tecnos, 1976.
  
  
• McCallum, Dennis. The Death of Truth. Minneapolis, Min.: Bethany House, 1996.
  
  
• Russell, Bertrand. Los Principios de la Matemática. Espasa Libros, 1983.
  
  
• Suppes, Patrick. Introduction to Logic. Dover, 1999.